Kontrolltheorie in Banachräumen und quadratische Abschätzungen

• Main Author: Haak, Bernhard Hermann (auth)
• Format: Electronic Book Chapter
• Published: KIT Scientific Publishing 2004
• Subjects: Kontrolltheorie; Banach-Raum; Abschätzung
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Im Zentrum des Buches steht die Untersuchung des abstrakten linearen Kontrollproblems x'(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0, y(t) = Cx(t).in unendlichdimensionalen Banachräumen. Will man unstetige Beobachtungsoperatoren C bzw. Kontrolloperatoren B betrachten, so entsteht auf natürliche Art und Weise der Begriff der Zulässigkeit von Kontroll- und Beobachtungsoperatoren.Im vorliegenden Buch wird diskutiert, inwiefern der Zulässigkeitsbegriff für analytische Halbgruppen mit Hilfe der Laplacetransformierten zu charakterisieren ist. Unter der zusätzlichen Voraussetzung quadratischer Bochner-Abschätzungen ist eine solche Charaktersisierung zwar möglich, es zeigt sich jedoch, daß die quadratischen Bochner-Abschätzungen, die zur GLEICHZEITIGEN Beschreibung der Zulässigkeit von Kontroll- und Beobachtungsoperatoren benötigt werden, nur selten außerhalb des Hilbertraumkontextes gelten.Daher wird für Kontrolltheorie in Banachräumen ein neuer Weg vorgeschlagen: Auf Hilberträumen besteht ein enger Zusammenhang zwischen quadratischen Abschätzungen und der Eigenschaft von A, einen beschränkten H-unendlich-Kalkül zu besitzen. Dies legt Nahe, auch in Banachräumen einen geeigneten Begriff quadratischer Abschätzungen aus dem H-unendlich-Kalkül abzuleiten. Diese Herangehensweise erlaubt es dem Autor einen Zulässigkeitsbegriff in Banachräumen anzugeben, der zum einen mit dem klassischen Begriff in Hilberträumen übereinstimmt, andererseits eine Charakerisierung im Laplacebild erlaubt, deren Voraussetzungen auch außerhalb des Hilbertraumkontextes sinnvoll nachprüfbar sind.Die für diesen Zugang notwendigen umfangreichen mathematischen Vorarbeiten werden ausführlich dargestellt und weiterentwickelt. Schließlich wird die Betrachtung durch eine Anwendung auf ein nichtlineares Problem abgerundet.