IDEAL URUTAN PADA JUMLAH LANGSUNG LEKSIKOGRAFIK DARI GRUP ABEL TERURUT TOTAL ℝ DAN ℤ - Eneng Riska Nuraeni, - (2023)
Setiap subgrup dari grup abel terurut total R adalah subhimpunan dense di R atau subgrup siklik, sedangkan setiap subgrup dari grup abel terurut total Z berbentuk nZ di mana n∈N. Dengan memeriksa sifat mengawetkan urutan pada setiap bentuk subgrup nontrivial dari masing-masing grup, diperoleh bahwa setiap subgrup nontrivial dari R dan Z bukanlah ideal urutan. Misalkan Γ_1= R⊕_lex Z dan Γ_2= Z⊕_lex R adalah grup abel terurut total. Bentuk umum setiap subgrup dari Γ_1 adalah G⊕_lex nZ dengan G≤R dan n∈N∪{0}, sedangkan bentuk umum dari Γ_2 adalah dan nZ ⊕_lex G. Selanjutnya, periksa sifat mengawetkan urutan dari setiap bentuk subgrup nontrivial dari Γ_1 diperoleh bahwa Γ_1 memiliki ideal urutan nontrivial meskipun R dan Z tidak memiliki ideal urutan nontrivial. Satu-satunya subgrup nontrivial dari Γ_1 yang mengawetkan urutan adalah {0} ⊕_lex Z. Dengan metode serupa, diperoleh satu-satunya ideal urutan yang nontrivial dari Γ_2 adalah J={0} ⊕_lex R. Every subgroup of the totally ordered abelian group R is a dense subset in R or a cyclic subgroup, while every subgroup of the totally ordered abelian group of Z is nZ where n∈N. By examining the order preservation in each nontrivial subgroup of each group, it is found that all nontrivial subgroups of R and Z are not order ideal. Let Γ_1=R⊕_lex Z and Γ_2= Z⊕_lex R be totally ordered abelian groups. The general subgroup form of Γ_1 is G⊕_lex nZ with G≤R and nZ∈N∪{0}, while the general subgroup form of Γ_2 is nZ ⊕_lex G. Next, by examining the order-preserving condition of each nontrivial subgroup of Γ_1, we obtained that Γ_1 has a nontrivial order ideal even though R and Z do not have nontrivial order ideal. The only nontrivial subgroup of Γ_1 that order preserves is {0} ⊕_lex Z. Using a similar method, the only nontrivial order ideal of Γ_2 is J={0} ⊕_lex R.